Devoir N 1 Semestre 1 Bac PC

Exercice 1 : (11 pts)

Soit f une fonction numérique définie sur R par :

image.png
  1. Montrer que f(x) est continue en 3.
  2. Montrer que f(x) est continue sur R.
  3. Etudier la dérivabilité de f à droite de 3 et interpréter graphiquement le résultat.

a. Montrer que la fonction g la restriction de f sur I=[3;+∞[ admet une fonction réciproque g^(-1) définie sur un intervalle J qu’il faut déterminer.

b. Calculer g(11) et montrer que g^(-1) est dérivable en 5 puis calculer g^(-1)'(5)

c. Déterminer g^(-1) pour tout x de J.

  1. Montrer que l’équation x^3-x+3=0 admet une solution unique α sur l’intervalle ]-2,-1[
  2. Par la méthode de dichotomie, donner un encadrement d’amplitude 0.5.

  1. Simplifier l’expression suivante :

image.png

2. Résoudre dans l’équation suivante :

image.png

Calculer la limite suivante :       

image.png

La solution du devoir est disponible suivant ce lien :

Cliquer Ici

issues:

Les limites sont un aspect important de l'analyse mathématique qui se concentre sur la manière dont les fonctions se comportent à l'approche de certains points ou à l'infini. La limite d'une fonction en un point donné peut être considérée comme la valeur approchée à laquelle la fonction tend à se rapprocher lorsqu'on s'approche de ce point.

La notion de limite est utilisée pour déterminer le comportement asymptotique des fonctions, ce qui peut aider à comprendre leur comportement à l'infini ou à l'approche de certains points particuliers.

Les racines n-ièmes sont également un aspect important de l'analyse mathématique. Elles décrivent les solutions d'une équation polynomiale d'ordre n. Par exemple, la racine carrée d'un nombre est la solution positive d'une équation du second degré, tandis que la racine cubique d'un nombre est la solution positive d'une équation du troisième degré.

Les racines n-ièmes peuvent être trouvées à l'aide de méthodes analytiques, telles que la formule de Cardano, ou à l'aide de méthodes numériques, telles que la méthode de Newton-Raphson.

En résumé, les limites et les racines n-ièmes sont deux concepts importants de l'analyse mathématique qui aident à comprendre le comportement des fonctions et à trouver les solutions d'équations polynomiales.

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