Devoir Surveillé N 2 Semestre 1 (2 BAC PC)

Exercice 1 : (5 pts) : 

Soit f la fonction définie sur : ]0,+∞[ par :

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1. Montrer que la fonction définie par : F(x)=x^4-3x^2+5/x est une fonction primitive de f sur ]0,+∞[.

2. Déterminer toutes les fonctions primitives de f sur ]0,+∞[

3. Déterminer la fonction primitive G de la fonction f tel que G(2) = 1.

4. Déterminer une fonction primitive de la fonction f sur l’intervalle R :

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issues:

Une fonction primitive est une fonction qui peut être dérivée d'une autre fonction par intégration. Plus précisément, si F(x) est une primitive de f(x), alors F'(x) = f(x). La fonction F(x) est appelée intégrale de f(x) et est indéterminée jusqu'à une constante d'intégration.

Exercice 2 : (7 pts)

I- On considère la suite (Un ) définie par :

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  1. Montrer par récurrence que : ∀n∈N Un>0
  2. Montrer que ∀n∈N
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  3. En déduire en utilisant le raisonnement par récurrence que : ∀n∈N Un<1
  4. Montrer que U(n+1)-Un=(-2Un (Un-1))/(2Un+3) et en déduire que (Un) est une suite croissante.
  5. Montrer que (Un) est convergente.

II- On pose : ∀n∈N∶

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  1. Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 3/5 et calculer son premier terme.
  2. Ecrire Vn en fonction de n et en déduire que Un=1/(1+(3/5)^n ) puis calculer lim(n→+∞)⁡ Un

Les suites numériques sont des séries de nombres qui suivent une certaine règle ou une formule définie. Les termes successifs de la suite sont générés en utilisant cette règle ou cette formule. Il existe de nombreux types de suites numériques, comme les suites arithmétiques, les suites géométriques, les suites de Fibonacci, etc. Certaines suites numériques convergent vers une limite, tandis que d'autres peuvent diverger. Les propriétés des suites numériques sont étudiées en analyse mathématique.

Exercice 3 : (8 pts)

Soit f une fonction définie par :

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(Cf ) est la courbe de f dans un repère orthonormé (o,i ,j ) (

Montrer que ∀x∈R : √(x^2+1)+x>0

Montrer que lim(x→-∞)⁡f(x)=1 et donner une interprétation graphique du résultat.

Montrer que lim(x→+∞)⁡f(x)=+∞ et montrer que lim(x→+∞)⁡f(x)/x =2

Montrer que la droite (∆) d’équation (∆): y=2x+1 et une asymptote oblique de (Cf ) en voisinage de +∞.

Montrer que ∀x∈R :

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Montrer que f est strictement croissante sur R (vous pouvez utiliser le résultat de de la question 1) puis donner le tableau de variation de f.

Calculer f(0) puis Construire la droite (∆) puis Construire la courbe (Cf ) (f^'' (x)>0 pour tout x de R).

Les fonctions numériques sont des fonctions mathématiques qui prennent des nombres comme entrées et produisent des nombres comme sorties. Il existe de nombreux types de fonctions numériques, comme les fonctions polynomiales, les fonctions exponentielles, les fonctions logarithmiques, les fonctions trigonométriques, les fonctions usuelles, etc. Les propriétés de ces fonctions, comme leur dévolution, leur comportement local et global, leur continuité, leur dérivabilité, leur intégrabilité, etc. sont étudiées en analyse mathématique. Les fonctions numériques sont souvent utilisées pour modéliser des phénomènes physiques, économiques et sociaux dans les sciences, l'ingénierie, la finance, etc.

La solution du devoir est disponible suivant ce lien :

Le lien de la solution : Cliquer Ici

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