Série d'exercice sur la Continuité

Exercice 1 :

Etudier la continuité de f en x0 dans les deux cas suivants :

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Exercice 3 :

Déterminer le domaine de définition de f et étudier sa continuité sur Df dans les cas suivants :

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Exercice 3 :

Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a,b] tels que : f(a)<ab et f(b)>b²

En utilisant le théorème des valeurs intermédiaires sur la fonction g telle que : g(x)=f(x)-bx. Montrer qu’il existe un élément c de l’intervalle [a,b] tel que :

f(c)=bc.

Exercice 4 :

1- Montrer que l’équation f(x)=0 admet une solution unique a sur l’intervalle I dans les cas suivants :

f(x)=x^4+4x-8 et I=[1;2]

f(x)=3x^3-4x^2+4x-1 et I=[0;1]

2- En utilisant La méthode de dichotomie donner une valeur approchée de a avec la précision 10^(-2).

Exercice 5 :

Soit f une fonction définie sur [-1;4] par : f(x)=(x-3)/(x+2)

1- Montrer que f admet une fonction réciproque f^(-1) définie de I vers un intervalle J qu’on déterminera.

2- Déterminer f^(-1) pour tout x de J.

Exercice 6 :

On considère la fonction f définie sur I=[1/4;+∞┤[ par :

f(x)=2x^2-x+1

1- Montrer que f admet une fonction réciproque f^(-1) définie sur un intervalle J qu’il faut déterminer.

2- Déterminer f^(-1) pour tout x de J.

Exercice 7 :

Soit f la fonction définie sur [-1;+∞[ par :

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1- Montrer que f admet une fonction réciproque f^(-1) définie sur un intervalle J qu’il faut déterminer.

2- Vérifier que : f^(-1) (1)=0.

3- Déterminer f^(-1) pour tout x de J.

Exercice 8 :

Résoudre dans R les équations suivantes :

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Exercice 9 :

Calculer les limites suivantes :

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Exercice 10 :

1- Ecrire le dénominateur des nombres suivants sous forme rationnelle :

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2- Classer ces nombres en ordre croissant :

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Exercice 11 :

Soit f la fonction définie par :

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1- Déterminer Df.

2- Calculer les limites aux bornes de Df.

3- Montrer que la fonction g la restriction de f sur I=[3;+∞[ admet une fonction réciproque g^(-1) définie sur un J qu’il faut déterminer.

Déterminer g^(-1) pour tout x de J.

Bonus:

Calculer la limite suivante :

lim x -> 0 (sin(x))/x

Pour résoudre cet exercice, nous pouvons utiliser la propriété de continuité du sinus en 0 : la limite du sinus en 0 est égale à 0. Nous pouvons donc écrire :

lim x -> 0 (sin(x))/x = (sin(0))/0 = 0/0

Ce qui n'est pas une forme définie de limite. Pour résoudre ce genre de limite indéterminée, nous pouvons utiliser une méthode appelée "factorisation par substitution".

Nous pouvons remplacer sin(x) par x, ce qui donne :

lim x -> 0 x/x = lim x -> 0 1 = 1

Donc la limite ci-dessus est égale à 1.

Il existe de nombreux autres exemples d'exercices sur les limites, allant des plus simples aux plus complexes, qui peuvent être résolus en utilisant diverses méthodes et techniques. Si vous avez un exemple spécifique en tête, n'hésitez pas à le partager pour que je puisse vous aider à le résoudre.


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